^ »° CHAPITRE V. 



114. Intégrales ahéliennes. — Soit 



(7) F(^, M) = o 



une relation algébrique irréductible, de degré m en u, T la sur- 

 face de Riemann correspondante, composée de m feuillets éten- 

 dus sur le plan des z, cp(s, u) une fonction rationnelle de z et de 

 II. L'intégrale 



' cp(z, u) clz 



est dite une intégrale abélienne appartenant à l'équation (7). Nous 

 supposerons qu'on a pris pour limite inférieure (^o, «o) un point 

 de la surface par lequel ne passe qu'un seul feuillet et pour lequel 

 cp(z, i^) reste fini. 



Occupons-nous d'abord des points singuliers que peut ad- 

 mettre cette intégrale. Il suffit d'examiner les différentes formes 

 possibles pour cp(^, u). Soit d'abord (a, h) un point analytique 

 à distance finie, par lequel ne passe qu'un seul feuillet, dans le 

 voisinage duquel la fonction cp(^, w) est régulière. Dans le do- 

 maine de ce point, on a 



o(s, w) = Ao-i- Ai(^— a) + A2(^ — a)2 + ... 

 et, par suite, 



A A 



w^ H+Ao(^ — a)+ -l(^_a)2-f- _? (^ _ a)3 4-. . . ; 



l'intégrale w est elle-même régulière dans le domaine de ce 

 point. Supposons ensuite que le point {a,b) soit un pôle de 



on en déduit 



«^ = " + (Tir^ (T=:^ + - ••+ A- jog(z-a) + Ao(z --.«) + .. .. 



Si A_, est nul, le point analytique («, h) est un pôle d'ordre 

 ii — i de l'intégrale; si A_, n'est pas nul, c'esl un point singu- 

 lier logarithmique. Lorsqu'on tourne autour du point (a, b) sur 

 la surface, l'intégrale augmente ou diminue de itûK_^. 



