CONNEXION DES SURFACES DE RIEMANN. 249 



Supposons ensuite que (<7, b) soit un point de ramification 

 d'ordre jjl — i . Plusieurs cas sont à distinguer : 

 i« La fonction cp(^, u) est régulière en ce point 



\_ « 



0(2, w) = Ao ^- Ai(.^ - a)H- -+- A2(^ — a)H- -T- . . . . 



On aura 



w= j o{z, u)du = 11 — S^q(z — a) 



a — I a — 2 



On voit que l'intégrale est également régulière au point (a^b). 

 2« Le point analytique {a. b) est un pôle d'ordre inférieur à a. 



On a 



tf{z, m) = A_5j,+„ -^ 4-. . . 



(z-a)' V- 

 et, par suite, 



n 



L'intégrale iv est encore régulière dans le domaine du point ana- 

 lytique (rt, 6), quoique sa dérivée devienne infinie en ce point. 



3° Le point analytique {a, b) est un pôle d'ordre supérieur à u-, 

 et le résidu est nul. On a 



0{Z, u) =A-^-n- ^ -<-••• 



et 



H ^ A_,j._rt 



d' = H . -t- . . . , 



n 1 



(z-cc)'^ 



l'intégrale abélienne w admet le point {a, b) comme pôle 

 d'ordre n. 



4« Enfin si le point («, b) est un pôle d'ordre égal ou supérieur 

 à jJL, sans que le résidu soit nul, ce point est pour l'intégrale <v 

 un point singulier logarithmique. 



L'étude de l'intégrale pour les valeurs infinies de 3 conduira 

 à des résultats analogues que le lecteur établira aisément. Re- 

 marquons seulement que la fonction o{z,u) peut être régulière 

 à l'infini, sans qu'il en soit de même pour w; il faut, en outre. 



