25o CHAPITRE V. 



que le développement de cp(s, u) commence par un terme en - de 



degré supérieur à l'unité. En résumé, une intégrale abélienne 

 est régulière en tous les points de la surface T, sauf en un 

 nombre fini de points, qui sont des pôles ou des points singu- 

 liers logarithmiques. 



115. Nous avons fait abstraction jusqu'ici du chemin suivi par 



la variable. Si l'on va du point [zq^ Uq) à un même point {z, u) 



de la surface par deux chemins différents, les valeurs finales w^ iv\ 



obtenues pour l'intégrale, ne peuvent différer que par une con- 



1 1 f • , dw dw' . 1 • i-v 1 • 1 



stante, car les dérivées -7- ? -r- sont identiques. On obtient donc 



toutes les valeurs possibles de l'intégrale en un point analytique 

 (5, u^ en ajoutant à l'une d'elles certaines constantes, appelées pé- 

 riodes ou modules de périodicité, qui jouent un grand rôle dans 

 cette théorie. 



Pour trouver le nombre de ces périodes, nous n'avons qu'à 

 répéter, mot pour mot, les raisonnements du Chapitre III. Il est 

 clair, en effet, que ces raisonnements sont indépendants du nom- 

 bre des feuillets qui composent la surface de Riemann et de la 

 nature des points de ramification. Le théorème de Cauchj s'étend 

 de la même façon aux surfaces à un nombre quelconque de feuil- 

 lets, ainsi que la formule de Riemann relative au signe de l'inté- 

 grale Tx^Y. 



Si donc cp(^, u) a tous ses résidus nuls, l'intégrale 



I o(z,u)dz 

 (-0, "0) 



est une fonction uniforme du point analytique (z, u) sur la sur- 

 face T'. Cette intégrale possède 2/? périodes A,, ...,A^, B,, 

 B2, . . . , By, relatives aux coupures «< , . . . , ap, b^^ . . . , bp^ cha- 

 cune de ces périodes étant déterminée comme sur la surface à 

 deux feuillets ; les périodes relatives aux coupures Ci , C2, ..., 

 Cp_^ sont toutes nulles. 



Supposons, en second lieu, que la fonction cp(5, u) admette un 

 certain nombre q de pôles, avec des résidus différents de zéro, Ri, 

 Ro, . . . , Ry. Soient (a, , j^, ) . . . (a^, p^) ces pôles dont quelques-uns 



