CONNEXION DES SURFACES DE RIEMANN. 



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peuvent être des points de ramification ou rejetés à l'infini. L'in- 



f o{z,u)dz 



(-0, "o) 



tégrale 



ne sera plus uniforme sur la surface ï'; un contour infiniment 

 petit autour du point (a^-, §f) augmente cette intégrale d'une quan- 

 tité Hi=: 27iiR/, qui est une nouvelle période. Pour rendre cette 

 intégrale uniforme, nous ajouterons de nouvelles coupures. En- 



Fiff. 86. 



MU, 



^Op^r ^oj 



tourons chacun des points (a;, ^3/) d'un cercle de rayon très petit, 

 ou de rayon très grand, si ce point esta l'infini. Joignons tous ces 

 cercles à un point P de la surface par des lignes ne se croisant pas 

 entre elles et ne rencontrant pas les coupures «v, ^v? ^v; puis, joi- 

 gnons le point P à un point de c, , par exemple. Si l'on regarde les 

 lignes tracées comme de nouvelles coupures, on aura obtenu une 

 nouvelle surface T'^, simplement connexe, sur laquelle l'intégrale 

 considérée sera une fonction uniforme \v\ car un chemin fermé 

 quelconque tracé sur T'^ ne renferme, à son intérieur, aucun des 

 points (a/, ;3j). 



Tout chemin situé sur T, allant de Mo en M, est équivalent à 

 une suite de contours fermés, dont chacun ne traverse qu'une 

 seule coupure, suivi du chemin direct situé sur T^, allant de Mo 

 en M. La diff'érence des valeurs de rv', en deux points infiniment 

 voisins de part et d'autre de la coupure di^ est égale à y^rùV^i = H/. 

 Le module de périodicité relatif à la coupure e est égal à 



