202 CHAPITRE V, 



27rf(R, + . . . + Kg) = o. Enfin les modules de périodicité rela- 

 tifs aux coupures ci sont encore nuls, tandis que les modules rela- 

 tifs aux coupures ay et b^ ont la même signification que plus haut. 

 L'intégrale abélienne admet donc 2p -\- q périodes 



Al, A2, .-., Ap, B„ B2, ..., B^„ Hi, H2, ..., H 



116. En résumé, une intégrale abélienne jouit des propriétés 

 suivantes : 



1° Elle est régulière en tous les points de la surface de Rie- 

 mann, sauf en un nombre fini de points qu^ elle admet comme 

 pôles ou comme points singuliers logarithmiques. Dans le do- 

 maine dhin point singulier (a, P), elle est représentée par un 

 développement de la forme suivante : 



ysf — ^n , A,t-i Al 



(z — ol)'^ (s_a)«-i •" ' ^ — a 



+ H log(c - a) + Bo-H Bi (5 - a) -f- . . . , 



le coefficient H ou les coefficients Ki pouvant être nuls ; z — a 



doit être remplacé par [z — a)f^ si le point analytique (a, p) 

 est un point de ramification d^ ordre \k — \.,et z — 00 par - ; 



2" On obtient toutes les déterminations de l^ intégrale en un 

 point quelconque [z, u) de la surface, en ajoutant à Vune 

 déciles des multiples quelconques de certaines périodes, en 

 nombre fini. 



Les périodes sont de deux sortes. Les unes proviennent de 

 lacets infiniment petits décrits autour des points singuliers loga- 

 rithmiques. Elles peuvent être en nombre quelconque, mais 

 leur somme est nulle; ce sont les périodes polaires. Les autres 

 périodes proviennent de certains contours fermés, appelés cycles, 

 tracés sur la surface T, contours qui ne peuvent être réduits à des 

 contours infiniment petits par une déformation continue. Ce sont 

 les périodes cycliques. Elles se ramènent toujours à ip périodes 

 distinctes, quelle que soit la fonction considérée o(;3, w), mais 

 quelques-unes peuvent être nulles. 



Inversement, toute fonction du j)oint analytique (^, «) jouis- 



