CONNEXION DES SURFACES DE RIEMANN. 203 



sant de ces propriétés est une intégrale abélienne, car sa dérivée 

 est une fonction uniforme sur la surface T^ n'admettant que des 

 pôles pour points singuliers, c'est-à-dire une fonction rationnelle 

 de z et de n. 



117. Les relations algébriques se classent naturellement d'après 

 le genre p de la surface de Riemann correspondante. Si /? = o, il 

 n'y a que des périodes polaires; si/? = i, il y a deux périodes cy- 

 cliques, etc. Les intégrales abéliennes relatives aune même équa- 

 tion algébrique F(^, ^^)^o se classent à leur tour d'après la 

 nature de leurs singularités. Nous distinguerons trois espèces 

 d'intégrales : 



1° Intégrales de première espèce. — Ce sont celles qui restent 

 régulières dans le domaine de tout point de la surface de Rie- 

 mann; elles ne peuvent devenir infinies que par l'addition d'un 

 nombre illimité de périodes. Il est clair qu'elles n'admettent que 

 des périodes cycliques. 



2° Intégrales de deuxième espèce. — Elles sont régulières en 

 tous les points de T, sauf en un seul point qu elles admettent 

 comme pôle ; elles n'ont encore que des périodes cycliques. 



3° Intégrales de troisième espèce. — Elles sont régulières en 

 tous les points de T, sauf en deux points (a,, |3,), (ao, ,3o), 

 qu'elles admettent pour points singuliers logarithmiques. Dans le 

 domaine du point (a< , j3,), une intégrale de troisième espèce, admet- 

 tant ce point pour point singulier logarithmique, sera de la forme 



log(5-aO-+-P(^ — a,), 



P(^ — a,) étant une fonction régulière au point (a,, [3, ), et dans 

 le domaine du point (ao, ^o) on aura pour la même intégrale 



Q(3 — ao) étant régulière au point (ao, ^2)- Nous désignerons 

 cette intégrale par le symbole 



Si un des points critiques logarithmiques vient en un point de 

 ramification d'ordre ;j., z — t. devra être remplacé par (3 — a)^; 



