254 CHAPITRE V. 



si un de ces points s'en va à l'infini, z — oc devra être remplacé 



par -. Une intégrale de troisième espèce admet 2/> périodes 



cycliques et une période polaire égale à i-kî. 



Remarquons encore qu'il ne peut y avoir d'intégrale plus simple 



ayant des points critiques logarithmiques. En effet, si la dérivée --r- 



a des pôles simples, elle en aura au moins deux, avec des résidus 

 égaux et de signes contraires; en divisant l'intégrale par une con- 

 stante égale à l'un de ces résidus, on ramènera les résidus à 

 être dz I . 



118. On verra, dans un des Chapitres suivants, comment on 

 peut former ces trois espèces d'intégrales. Nous nous bornerons, 

 pour terminer ces généralités, à rappeler quelques conséquences 

 de la formule de Riemann. Soient w une intégrale de première 

 espèce et A| , . . . , A^p, R, , Bo , . . . , B^ ses ip périodes, 



Av = av + av / — I , Bv = pv 4- [^v / — i • 



D'après la formule de Riemann, l'expression 



^(avp;-Pv<) 



est essentiellement positive; elle ne pourrait être nulle, d'après la 

 façon même dont on établit cette formule, que si w se réduisait 

 à une constante. On en conclut immédiatement que, si ^v ne se 

 réduit pas à une constante, il est impossible : i*' que les parties 

 réelles ou les parties imaginaires de toutes les périodes soient 

 nulles; 2° que les périodes relatives à toutes les coupures a^ ou à 

 toutes les coupures Z>v soient nulles en même temps. 



Une autre conséquence, sur laquelle nous voulons appeler l'at- 

 tention, c'est qu'à une relation algébrique de genre p ne 

 peuvent correspondre plus de p intégrales linéairement dis- 

 tinctes de première espèce. Soient, en effet, w^, (Po, ..., tv^^,, 

 p -f- I intégrales de première espèce ; on peut toujours trouver/) + i 

 coefficients constants Xj, \2i • • • ? ^^p-\-\i dont un au moins sera dif- 



