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CHAPITRE VI. 



TRANSFORMATIONS BIRATJONNELLES ('). 



Transformations rationnelles générales. — Transformations birationnelles. — 

 Conservation du genre. — Ordre et classe d'un cycle. — Transformation 

 d'Halphen. — Théorème de Nother. — Définition géométrique du genre. — 

 Courbes de genre zéro. — Courbes de genre un. — Courbes de genre deux. 



119. Soit 



(l) /(^, M) = 



une équation algébrique irréductible, de degré m en u et de degré 

 n en z. Prenons deux fonctions rationnelles de z et de u 



d'ordres f/ et v respectivement; la fonction cp(^, u) admet jjt. pôles 

 sur T, en général distincts, et la fonction ^(5, u) en admet v. Si 

 Ton élimine z et u entre les équations (i) et (2), on est conduit à 

 une relation algébrique entière entre Z et U, 



(3) F(Z,U) = o, 



qui exprime la condition nécessaire et suffisante pour que les 

 trois équations (i) et (2) admettent un système de solutions com- 

 munes en z et u. Il est facile de trouver le degré du polynôme 

 F(Z, U) par rapport à chacune des variables. A une valeur de Z 

 la relation Z = (d(z, u) fait correspondre par hypothèse a points 



(') Auteurs à consulter : Nother, Sur les systèmes singuliers, etc. {Mathe- 

 matische Annalen, t. IX, p. 166-182) ; Halphen, Note ajoutée à la traduction fran- 

 çaise du Traité des courbes planes, de Salmon. 



