TRANSFORMATIONS B I R A T I ON NE L LE S. >.j- 



analjtiques sur la surface T, et par suite aussi u. valeurs de U; 

 inversement, à une valeur de U correspondent v points de la sur- 

 face T et, par suite, v valeurs de Z; l'équation (3) est donc de 

 degré ui par rapport à U et de degré v par rapport à Z. 



120. Le polynomeY [T^ U) est irréductible, ou il est une puis- 

 sance exacte d'un polynôme irréductible. 



Soit en effet (Zq, Uo) un couple de valeurs de Z et de U, véri- 

 fiant l'équation (3) ; il existe sur la surface T un point analytique 

 {zq^Uq) tel que l'on ait 



soient ensuite (Z,, U, ) un autre couple de valeurs de Z et U, satis- 

 faisant à l'équation (3), et (::?,, u^) un point analytique correspon- 

 dant de la surface T, c'est-à-dire tel que Ton ait 



./(-i,Wi) = o, Zi = ç(^,, ;/i), U, = •}( Ji, f<,). 



Imaginons que l'on aille sur la surface T du point (^Zq^ Uq) au 

 point (^,, u^) par un chemin ne passant jiar aucun des pôles des 

 fonctions cp(;, u) et ^(^, u). Alors Z variera d'une manière con- 

 tinue de Zo àZ,, et U variera de même de Uq à U,. Donc, si l'on 

 considère la fonction algébrique U de Z définie par l'équation (3), 

 on voit qu'il est possible de faire décrire à la variable Z un chemin 

 allant du point Zq au point Z,, tel que, U avant la valeur initiale 

 Uo, sa valeur finale soit U, ; Uq est une quelconque des racines 



de l'équation 



F(Zo,U) = o 



et U, une quelconque des racines de Féquatiou 



F(Z„U) = o. 



Or, cela n'est possible que si le polynôme F(Z, U) est irré- 

 ductible ou est une puissance exacte d'un polynôme irréduc- 

 tible (§ 85). 



\ oici comment on pourra distinguer les deux cas. La relation 



Z = '^iz,u) 



A. ET G. 



