258 CHAPITRE VI. 



fait correspondre, à chaque valeur de Z', a points analytiques sur 

 T, en général distincts, 



(G) (-l,«l), (-2, "2), ... (-fJo^^ljJ- 



De même l'équation 



fait correspondre, à chaque valeur de U, v points analytiques 



(G') {z\,u\), {z',_, u'.^), ..., (-;, <). 



Si les valeurs considérées Z, U vérifient l'équation (3), un ou 

 plusieurs points analytiques devront faire partie des deux 

 groupes. On a donc deux hypothèses à examiner : 



1° Supposons d'abord, ce qui est le cas général si les fonctions 

 <f et ^ n'ont pas été prises d'une façon particulière, que les deux 

 groupes (G) et (G') n'aient qu^un seul point analytique com- 

 mun^ sauf pour des valeurs particulières de Z et de U. Alors à 

 une valeur de Z correspondent p. valeurs de U, qui sont en général 

 distinctes. En effet, supposons qu'aune valeur de Z correspondent 

 seulement k valeurs distinctes de U, Ui ,Uo, ..., U/r (A << a). Soient 



les V points analytiques qui correspondent à la valeur U/. Par hy- 

 pothèse, un seul de ces points analytiques fait partie du groupe 

 G; en opérant de môme avec chacune des valeurs U|, ...,U/v, 

 on trouve k points analytiques du groupe G. Si l'on suppose 

 k <C [J-, on n'a donc pas épuisé toutes les valeurs de U qui corres- 

 pondent à une valeur donnée de Z. Ainsi à une valeur de Z cor- 

 respondent [j. valeurs de U, qui sont en général distinctes et^ 

 par conséquent, le polynôme F(Z, U) est indécomposable. 



Les équations (1) et (2) n'ayant qu'un système de solutions 

 communes en z et w, lorsque Z et U sont liées par la relation (3), 

 on sait, par la théorie générale de l'élimination, que les valeurs 

 de z et de u s'obtiendront par des divisions et la résolution d'équa- 

 tions du premier degré. Par conséquent, z et u s'exprimeront aussi 

 en fonctions rationnelles de Z et de U 



p = *(Z,U), 



