TRANSFORMATIONS B I R A T I ONN E L LES. l5^ 



La transformation considérée est dite réversible ou hiration- 

 nelle. On dit aussi que les deux équations (i) et (3) appartiennent 

 à la même classe. 



2° Les deux groupes G, G' ont toujours q points analytiques 

 communs. On a, dans ce cas, 



\^q 



en effet, soient 



(G) (-1, "i), (-2, "2), •••, (-a: «ja) 



les points analytiques de T qui correspondent à une même valeur 

 de Z. Au point (^,, ;/, ) correspond une certaine valeur de U, qui 

 est la même par hypothèse pour q des points du groupe (G); 

 soient [z^^ Wo)? • • •? {^q-, Uq) les points de ce groupe qui donnent la 

 même valeur que (^i, w,). Soit de même U' la valeur de U qui 

 correspond à un des points qui restent, (-3,7+1, Uq^\)'', il y a encore 

 q — I points de (G) qui donnent pour U la même valeur U' que 

 celui-là. En continuant ainsi, on voit que a est forcément un 

 multiple de q, u. = ^j!q, et qu'à une valeur de Z ne correspondent 

 que [Ji' valeurs de U. Tout pareillement, v doit être un multiple 

 de q^ V = v'^, et à une valeur de U correspondent v' valeurs dis- 

 tinctes de Z. Le polynôme F(Z, U) est de la forme 



F(Z, U)=[Fi(Z,U)]^ 



F,(Z, U) étant un polynôme irréductible de degré v' en Z et de 

 degré jjl' en U. 



121. Il est un cas particulier remarquable que nous devons 

 signaler, c'est celui où les formules (2) définissent une trans- 

 jorniation de Cremona. Alors, à tout système de valeurs de Z 

 et de U, ces équations font correspondre un seul système de va- 

 leurs pour z et M, variable avec Z et U. Les valeurs de z et u 

 s'expriment à leur tour rationnellement en Z et U, et la transfor- 

 mation précédente appliquée à une relation algébrique quelconque 

 donnera lieu à une transformation birationnelle. Mais la réci- 

 proque n'est pas vraie; il peut se faire que les équations (-2) 

 admettent plusieurs systèmes de solutions en ^ et w variables 



