26o CHAPITRE VI. 



avec Z et U, tandis que l'ensemble des équations (i) et (2) n'en 

 admet qu'un seul. 



Cette distinction est peut-être plus facile à saisir en employant 

 le langage géométrique. Considérons (^, u) et (Z, U) comme les 

 coordonnées de deux points dans deux plans. A tout point du 

 premier plan les équations (?.) font correspondre un point et un 

 seul du second plan, et à la courbe C, représentée par l'équation 

 f{z, ;/) = o, correspond la courbe C, qui a pour équation 



F(Z,U) = o. 



Si les équations [1) définissent une transformation de Cremona. 

 à tout point du second plan correspond un seul point du premier 

 plan et, par suite, à tout point de C correspond un point et un 

 seul de C. Mais il peut aussi arriver que la correspondance entre 

 les points des deux courbes C et C soit uniforme, sans qu'il en 

 soit de même pour la correspondance entre les points des deux 

 plans. Ainsi les formules de transformation 



ne définissent pas une transformation de Cremona; cependant, si 

 l'on applique cette transformation à une courbe n'admettant aucun 

 des axes de coordonnées, supposés rectangulaires, pour axe de sy- 

 métrie, elle donne lieu à une correspondance uniforme entre les 

 points des deux courbes. Par exemple, si l'on applique cette trans- 

 formation à la droite A3 4- Bf^ = i , on obtient la parabole qui a 

 pour équation 



A*Z2-i-B*U2+ I— 2A2B2ZU-2A2Z-2B2U = 0. 



A un point (Z, U) de la parabole correspond un seul point (:;, u ) 

 de la droite, dont les coordonnées sont 



B2U — A^Z + i A2Z- B2U-1- I 



u = p; j 



2B ' -- ^^ 



Nous ne nous occuperons dans la suite que des transformations 

 birationnelles entre les points de deux courbes. 



122. Revenons aux deux équations algébriques 



f{z,u) = o, F(Z, U) = o, 



