TRANSFORMATIONS B I R A T I NN E LL E S. 261 



que nous supposons appartenir à la même classe. Si dans la 

 seconde équation on regarde Z comme la variable indépendante, 

 il lui correspond une surface de Riemann T,, composée de jjl feuil- 

 lets étendus sur le plan des Z. Les points des deux surfaces T 

 et T, se correspondent d'une façon univoque; à un point de 

 Tune correspond un point et un seul de l'autre et inversemenl. 

 Déplus, à tout déplacement infiniment petit sur l'une des surfaces 

 correspond un déplacement infiniment petit sur l'autre surface. 

 Il n'y a exception que lorsqu'un des points s'en va à l'infini sur 

 Tune des surfaces, mais on peut éviter cette difficulté en suppo- 

 sant les deux surfaces de Riemann étendues sur la sphère. Cela 

 posé, à toute coupure tracée sur T correspond une coupure 

 tracée sur T, et inversement. Imaginons qu'on ait tracé sur T 

 les N coupures qui la transforment en une surface simplement 

 connexe T'; les N coupures correspondantes tracées sur T, la 

 changent en une surface T', , qui est simplement connexe. D'abord 

 cette surface T', est connexe. Prenons, en effet, deux points quel- 

 conques M, M' de T^ et les points correspondants m^ m' de T'. On 

 peut joindre les deux points m, m' de T' par un chemin continu ne 

 traversant pas les coupures ; le chemin correspondant de Tj joindra 

 les deux points M, M' sans traverser les coupures. En second lieu, 

 la surface T', est simplement connexe ; car, s'il en était autrement, 

 on pourrait tracer sur ï', une nouvelle coupure sans morceler 

 cette surface, et la coupure correspondante de T' ne morcellerait 

 pas non plus la surface T', ce qui est impossible, car nous avons 

 supposé T' simplement connexe. Les deux surfaces T et T,, étant 

 transformées en deux surfaces simplement connexes par un même 

 nombre de coupures, sont du même genre. Par conséquent, le 

 genre d'une relation algébrique se conserve dans toute trans- 

 formation birationnelle. On peut dire encore que deux rela- 

 tions algébriques appartenant à la même classe sont du même 

 genre. 



A cause de l'importance de ce théorème, nous en donnerons 

 une seconde démonstration purement analytique. Remarquons 

 d'abord qu'on peut, dans la démonstration, faire les hypothèses 

 suivantes : 



i*' La fonction rationnelle 



