9.62 CHAPITRE VI. 



devient infinie du premier ordre en ^ points distincts de la sur- 

 face T, qui ne sont pas des points de ramification. 



2° La surface T n'a aucun point de ramification à l'infini, et 

 les m valeurs de Z pour les valeurs infinies de z sont représentées 

 par m développements distincts 



ZU) = A'/' -h A'/^ -î. -H . . . + A^!'' ~ + . . . (t = I, 2, . . . m), 



où les coefficients A'/* sont tous différents de zéro. 

 Soit, en efî'et^, Zo une valeur telle que l'équation 



o(^, u) = Zo 



admette [jl racines simples difi'érentes (aj, jSi), ...,(a[j,, [^j^), distinctes 

 des points à l'infini et des points de ramification. La fonction 



de (^, u)^ Z'= Y ^"^^ V- pôles simples à distance finie sur la 



surface T; or, si l'on prend pour nouvelle variable, dans la rela- 

 tion entre Z et U, ^ 7- = Z', il est clair que le nombre des 



feuillets de T ^ ne change pas, ni le nombre et l'ordre des points 

 de ramification de cette surface, ni par conséquent le genre de la 

 surface. 



Soit maintenant Zq une valeur finie de z, telle que les m va- 

 leurs de u correspondantes, ainsi que celles de Z', soient distinctes 

 et finies. Dans le domaine du point Zq, les ni valeurs de TJ sont 

 représentées par m développements de la forme suivante : 



Z'=A'/)+A^/H^-^o) + ...-l-Aif'(z-.-o)^-+... (i = i,2,...,m), 



et nous pouvons supposer, de plus, que les m coefficients A'/' sont 

 différents de zéro. Si l'un d'eux était nul, un des points analy- 

 tiques qui sont superposés au point ^0 serait racine de l'équation 



dZ' 



— -r=: o, et l'on peut toujours prendre pour Zq un point qui n'est 



pas racine de cette équation . Si l'on pose maintenant z = ^0 H — j ' 



ce qui ne change pas le genre de la surface T pour les mêmes rai- 

 sons que plus haut, il est visible que les hypothèses que nous 

 avons énoncées seront satisfaites. 



