TRANSFORMATIONS R I R A T I ONN ELLES. 203 



Cela posé, cherchons les points de ramification de la surface T,, 

 c'est-à-dire les valeurs de Z telles que U cesse d'être une fonction 

 uniforme de Z. Considérons d'abord les [x points à l'infini de cette 

 surface, qui correspondent aux u. pôles simples 



(ai,Pi),...,(ajx, ?!x) 



de la fonction Z. Dans le domaine du pôle (a,, ,3/), on a, par 

 exemple, 



z — -Ml 

 on en tire 



}^^ÏS_^ ..^— =^"^[i + G;(.-a,) + ...]. 



Z K/ Lo(;; — a/) , K/ 



'^ R, "" • • • 



En faisant l'inversion, on aura 



P (]^ désignant une fonction régulière dans le domaine du point 

 1=0. Comme, par hypothèse, le point (a,, ji/) n'appartient qu'à 

 un seul feuillet, u— ^i est une fonction régulière de ^ — a, et, 

 par suite, de Ij- Par conséquent, la fonction rationnelle 



est une fonction uniforme de ^ dans le domaine du point Z = ce. 

 Les iJL points à l'infini de la surface Tj ne sont donc pas des points 

 de ramification. 



Prenons ensuite les points de la surface T, qui correspondent 

 aux points à l'infini de T. Dans le domaine d'un point à l'infini 

 de T, on a 



Comme A'f est supposé ditTérent de zéro, l'inversion nous donnera 



l^P(Z-Â'J'), 



