'^64 CHAPITRE VI. 



puis 



z. = Q(Z-A'/0, 

 et enfin 



P(Z-AÏ'), Q(Z-AÏ)), R(Z-A'i') étant des fonctions uni- 

 formes de Z dans le domaine du point AJj'. On en conclut que ces 

 points ne sont pas non plus des points de ramification pour la 

 surface T, . 

 Soient 



(«1,^1), .... (ai,bi), ..., (aA;b/,) 



les points de ramification de T, d'ordre /•, — i , . . ., /-yr — i respec- 

 tivement. Dans le domaine du point (a/, ^/), par exemple, on a 



Z=.Z,--4-G'i(,G-a,-)''-4-... , G'1^0. 



On en déduit 



(Z - z,y7=. ( . _ a,f'[c{ -- a,(.- - a^y'i-^ . . .]'' 



et l'inversion donne pour (z — ct/Y^ un développement en série 



1 

 procédant suivant les puissances croissantes de (Z — Z,)'^. Comme 



a — bi est une fonction uniforme de (z — cii)''^ dans le domaine 

 du point de ramification, on en conclut que u et, par suite, 1.1 pour- 



1 

 ront se développer suivant les puissances croissantes de (Z — Z/)^, 

 c'est-à-dire que le point de la surface T, qui correspond au poini 

 (rt/, bi) de la surface T est un point de ramification d'ordre 



Prenons de même un point (a, b) de T par lequel ne passe 

 qu'un seul feuillet. On a, dans le domaine de ce point, 



Z = A-4- A„(^ — rt)«-f- ... A„^o; 



si n est plus grand que un, on en déduit pour z — a el u — b des 

 développements en série procédant suivant les puissances crois- 



santés de (Z — A)'' ; le point correspondant de Ti sera donc un 

 point de ramification d'ordre n — i . 



