TRANSFORMATIONS B I R AT lONN E LLES. 205 



On pourrait objecter à ce raisonnement que les exposants frac- 

 tionnaires peuvent disparaître dans le développement de U ou 

 avoir un dénominateur commun plus petit que // ou que /i, quand 

 on les réduit à leur plus simple expression. Il est facile de lever 

 l'objection. Plaçons-nous, pour fixer les idées, dans le dernier cas 

 qui vient d'être examiné ; soit (A, B) le point de T< qui corres- 

 pond au point (a, b) de T, et admettons, pour un moment, que par 

 ce point (iV, B) il passe moins de n feuillets. Lorsque z décrit 

 une petite circonférence sur T autour du point [a. b), l'argument 

 de Z — A augmente de 2/01. S'il v avait moins de n feuillets pas- 

 sant en (A, B), la droite joignant le sommet (A, B) du cycle au 

 point Z, droite qui a tourné de 2 ht., aurait décrit plusieurs fois 

 le domaine du sommet du cycle. 11 n'y aurait donc pas correspon- 

 dance uniforme entre les points des deux domaines, contraire- 

 ment à l'hypothèse. 



En définitive, les points de ramification de T, proviennent des 



points de ramification de T et des points de T pour lesquels -p 



est nul. Écrivons que le nombre des zéros de cette fraction ration- 



nelle -77 est égal au nombre des pôles. D'abord cette fonction a m 



zéros du second ordre à l'infini, comme on le voit en différentiant 

 les ?n développements de Z dans le domaine de z =^ ce. et u. pôles 

 du second ordre aux points (a,, p,), ...,(ol^, ^^^j. Un point de ramifi- 

 cation d'ordre /\, pour lequel le développement de Z est de la forme 



/, 

 Z = Zi -r- Ci{z — ai)'' -h . . . Cl ^ G, 



est un zéro d'ordre li — /■/. si li^i'i^ et un pôle d'ordre // — li 

 si /'/ >> //. On aura donc, dans tous les cas, la relation 



la somme \](/7 — //) étant étendue à tous les points de ramifi- 

 cation de T, et la somme \^(/^ — i) à tous les zéros de -77 distincts 

 des points de ramification. Cette égalité peut encore s'écrire 



