266 CIIAPITUE VI. 



OU 



— m-T-i — 1 > -^ _ a + I. 



2 22' 



Or les deux membres de celte égalité sont égaux respectivement 

 aux nombres p elp' qui, d'après la formule générale de Riemann, 

 représentent le genre de la surface T et de la surface T<. Le théo- 

 rème est donc établi. 



Remarque. — Etant donnée une relation algébrique entière 



f{z, 11)^0, 



on peut à volonté considérer z ou u comme la variable indépen- 

 dante. On a ainsi deux surfaces de Riemann distinctes T, T, qui 

 sont du même genre, d'après le théorème précédent. On peut 

 donc, pour évaluer le genre de la relation f{z^ u) = o, considérer 

 à volonté la surface T ou la surface T^. Par exemple, si la relation 

 est du premier degré par rapport à l'une des variables, l'une des 

 surfaces de Riemann se réduit à un plan; on peut affirmer que 

 l'autre surface est simplement connexe. 



123. Soit (0(5, u) une fonction du point analytique (z, u)] si 

 l'on suppose ;: et u remplacés par leurs valeurs en fonction de 

 Z et de U, to(z, u) se change en une fonction Û(Z, U) du point 

 analytique (Z, U). Soit (A, B) le point analytique qui correspond 

 à un point analytique (a, b) de la première surface : si la fonc- 

 tion 03(5, u) est régulière dans le domaine du point (a, b), la 

 fonction Û(Z, U) sera régulière dans le domaine du point ( A, B) ; 

 si le point («, b) est un pôle ou un zéro pour w(-g, w), le point 

 (A, B) sera un pôle ou un zéro du même ordre pour Q(Z, U). 



Pour plus de généralité, supposons que le point analytique 

 (<2, b) soit un point de ramification d'ordre r — i de la première 

 surface, et le point (A, B) un point de ramification d'ordre / — i 

 de la seconde surface. D'après les développements du paragraphe 

 précédent, on aura, dans le domaine du point (r/,, ^), 



1 1 2 



(Z — A)^ — ai{z ~ ay'-\- i^i^ ~ «)'' — • . ., «i ?^ o, 



et inversement dans le domaine du point (A, B), 



_i 1 2 



(^ _ af = ?i(Z -ky-^ p2(Z - Ay +. . ., pi ^ o. 



