TRANSFORMATIONS R I R A T 10 NN EL LE S. 267 



Toute fonction to(w, u) régulière au point («, b) est égale à la 

 somme d'une série convergente ordonnée suivant les puissances 



positii^es el croissanles de (z — a)'"; la fonction Q(Z,U) sera 



donc égale à la somme d'une série convergente ordonnée suivant 



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 les puissances positives et croissantes de (Z — A)^. Si le premier 



développement commence par un terme en (.- — a)'', le second 



développement commencera par un terme en (Z — A)^; le point 

 (a, b) sera un zéro d'ordre q pour w(^, w), et le point (A, B) un 

 zéro d'ordre q pour Û(Z, U). Si le point (a, b) est un pôle d'ordre 

 q' pour Lo (z, u), on aura, dans le domaine de ce point, 



=:!?.'( 1 j 



iû(z, u) = (z — a) '' ^ «0 — «1 (-s — «)'■ -f- . . . ) , «0 ^ G, 



et par suite 



-'7' « -^.(z-Ay 



12(Z,U) = (Z-A) ^ ^' ' ^'^" '^\ %^o, Yo?^o 



Yo-f-Ti(Z — Ay-i-... 

 ou 



_r i 1 / 



0(Z, U)=(Z-A) / (ao4-oi(Z-A) -^... i, ôo?^o, 



de sorte que le point (A, B) sera un pôle d'ordre q' pour Û(Z, U). 

 Le raisonnement reste le même si un des points (<7, b) ou 

 (A, B) s'en va à l'infini sur l'une des surfaces. Il suffira de rem- 

 placer z — X par -5 ou Z — ao par y 



Soit(v= j Il{z^ u) dz une intégrale abélienne relative à la 

 courbe /(^, u) = o ; si l'on pose 



^ = 4>(Z,U), 11 = W(Z,l]), 



cette intégrale se change en une nouvelle intégrale abélienne 

 / II, (Z, \J)dZ relative à la courbe transformée 



F(Z,U) = o. 



En particulier, si la première intégrale reste finie en tous les 

 points de la surface T, il en sera de même de la nouvelle inté- 



