^G8 CHAPITRE VI. 



grale. Donc une intégrale de première espèce se change en une 

 intégrale de première espèce, et ceci n'exige pas que la transfor- 

 mation employée soit réversible. Si à la première courbe sont 

 attachées q intégrales distinctes de première espèce, il j en aura 

 au moins q pour la seconde, mais elle pourra en avoir davantage. 

 Si nous supposons, en outre, que la transformation soit réversible, 

 le nombre des intégrales de première espèce pour la seconde 

 courbe ne pourra être supérieur à ^; caria transformation inverse 

 donnerait pour la première courbe plus de q intégrales de première 

 espèce. Ainsi, deux relations algébriques de la même classe 

 admettent le même nombre dHntégrales abéliennes distinctes 

 de première espèce. 



On voit de même qu'une transformation birationnelle change 

 une intégrale de seconde espèce en une intégrale de seconde es- 

 pèce et une intégrale de troisième espèce en une intégrale de 

 troisième espèce. 



Parmi les transformations birationnelles, une des plus simples 

 est la transformation homographique, définie par les formules 



«ZH-6U-f-c a'Z^ b'\] -^ c' 



a"Z-^b"V-^c" a"7.-\-b"V^c"' 



soit m le degré d'une relation algébrique /(s, u) = o, en z et u^ 

 c'est-à-dire le degré de la courbe représentée par cette équation. 

 Choisissons une droite D rencontrant cette courbe en m points 

 simples distincts; on peut disposer des coefficients de la transfor- 

 mation homographique de façon que celte droite soit rejetée à 

 l'infini et qu'aucune asymptote ne soit parallèle à l'axe des U. 

 L'équation transformée sera de degré m en U, et les m valeurs 



de -y pour une valeur infinie de Z seront distinctes et finies, de 



sorte que les m valeurs de U seront représentées, pour des va- 

 leurs de Z de module très grand, par m développements de la 



forme 



a'/' 

 U = c/Z + a'o'^+-^ + ... . 



La surface T correspondante n'aura pas de point de ramification 

 à l'infini. Les points de ramification proviendront des points mul- 

 tiples de la courbe et des points où la tangente est parallèle à 



