TRANSFORMATIONS B I R A T I ON N E LLE S- 269 



l'axe des U. On peut toujours supposer que ces derniers sont 

 des points de ramification simples ; il suffit pour cela que Taxe 

 des U ne soit parallèle à aucune tangente d'inflexion. 



124. Avant d'aller plus loin, il est nécessaire d'entrer dans 

 quelques détails sur la théorie des courbes planes algébriques et 

 sur un important théorème dû à M. Nother. Étant donnée une re- 

 lation algébrique entière et irréductible en z et u, 



/ (-: «) = 0, 



si l'on considère z et a comme les coordonnées cartésiennes 

 d'un point du plan, cette équation représente une couj-be. 

 Au sens étroit du mot, la courbe se compose simplement des 

 points dont les coordonnées réelles vérifient l'équation pré- 

 cédente. Mais nous conserverons le nom de courbe pour dési- 

 gner l'ensemble des solutions, réelles ou imaginaires, de cette 

 équation. 



Soit z = a. Il ^ b un point de cette courbe à distance finie. Si 

 pour z = a l'équation /(«, u) = o admet IN racines égales à 6, il 

 résulte de l'étude faite plus haut (§ 81) que, pour une valeur de :: 

 voisine de a, l'équation /(::, w) = o admet N racines voisines 

 de b', de plus ces N racines se partagent en un certain nombre de 

 systèmes distincts. Les racines d'un même système sont repré- 

 sentées par un même développement en série 



(5) u — b = oc^{z — a)'^ -^ 7.i{z ~ ay^ -V... 



où ao, a,, ... sont des coefficients quelconques, dont le premier 

 n'est pas nul, 7?^, /?z,, ... des nombres entiers positifs croissants, 

 et où les exposants sont supposés réduits à leur plus petit déno- 

 minateur commun n. Quand on attribue au radical (z — a)" ses n 

 déterminations, le second membre prend /i valeurs distinctes ; il 

 faut remarquer toutefois que dans le calcul on doit prendre dans 



chaque terme une même détermination de (z — a)". En langage 

 géométrique, ces résultats s'énoncent comme il suit : Soient 

 «, b les coordonnées cVun point d'une courbe algébrique. Au 



