TRANSFORMATIONS B I R A T I ONN E LLES. 271 



un point de coordonnées (A, B). Les formules de transformation 

 sont de la forme 



7 A - ^'(--^)-^^'(''-^ ) 



L'équation (5) qui représente le cycle, supposé d'ordre /?, peut 

 être remplacée par le système des deux équations 



z = a-h f", i, = b -^ocot'" -h ' ■ .-■, 



si l'on remplace z — a et u — b par ces valeurs dans les formules 

 de transformation, on obtient pour Z — A et U — B des dévelop- 

 pements suivant les puissances positives de t, dont l'un au 

 moins commence par un terme en t". Si , par exemple , cela 

 arrive pour Z — A, on en déduira pour U — B un développe- 

 ment procédant suivant les puissances positives de (Z — A)". Au 

 cycle primitif correspond par conséquent un nouveau cycle dont 

 le degré est au plus égal à fi. Ce degré ne peut être inférieur à n, 

 car, si le degré d'un cycle ne jieut s'élever par une transformation 

 homographique, il ne peut pas non plus s'abaisser. 



Remarque. — Considérons un point de coordonnées (c, u) 

 appartenant à un cycle ayant son origine en un point {a, b). Le 



rapport ^^^- tend vers une limite finie et différente de zéro si 



m — n; il tend vers zéro si m > n et il croît indéfiniment si m < n, 

 lorsque z — a tend vers zéro. La droite passant par l'origine du 

 cycle et par un point infiniment voisin de ce cycle tend donc vers 

 une limite parfaitement déterminée que nous appellerons la tan- 

 gente du cvcle. Si cette droite est parallèle à l'axe des z, on a 

 my>n; si elle n'est parallèle à aucun des axes de coordonnées, 

 on a m = n. 



En particulier, si le cycle est linéaire ou du premier degré, et 

 si la tangente au cycle n'est pas parallèle à l'axe des u, la valeur 

 de u est représentée par une série ordonnée suivant les puis- 

 sances entières et positives de :; — a 



u = b--~oL{z-a)-^^^{z-ay'-^ .... 



