TRANSFORMATIONS B I R AT lONN E LLES. 275 



Considérons en particulier un cycle représenté par le déve- 

 loppement 



Il = A Z»^ H- B 3'«-l -f-...-^H-i-^^...; 



d'après ce que nous venons de voir, si m est^ i, le degré du 

 cycle est m — i. Si donc m est supérieur à 2, le cycle n'est pas 

 linéaire. Ce résultat peut sembler étrange, mais il est facile de 

 le vérifier sur des cas particuliers. Par exemple, la courbe if = z^ 

 présente un point de rebroussement à l'infini, car la transforma- 

 tion homographique 



T :;' 



u = ---, ^ — —, 



IL U 



remplace la courbe donnée par la courbe u'- = z'^^ qui a bien un 

 cycle du second degré à l'origine. Si m = i, le degré du cycle est 

 toujours égal à un, mais la classe peut être quelconque. 



Si une courbe n'a que des cycles du premier degré, il en sera 

 de même de toutes ses transformées homographiques. La courbe 

 étant de degré m, supposons que la droite de l'infini la rencontre 

 en m points distincts et qu'aucune asymptote ne soit parallèle à 

 l'axe des u. Alors les ni valeurs de u pour ^ = ce seront représen- 

 tées par m développements de la forme 



a'/' al,'' 

 u = CiZ -^ y.^' ^ — -i- -j- -^ . . . (t = I, 2, . . . , ?n ), 



les m coefficients ct étant différents ; les m cycles ayant leur ori- 

 gine à l'infini sont linéaires. La courbe peut avoir des points 

 multiples d'ordre quelconque; mais, si aucune des tangentes en 

 un de ces points multiples n'est parallèle à l'axe des u, hypothèse 

 qu'on peut toujours faire, chacun des cycles de la courbe ayant 

 son origine en un point multiple sera représenté par un déve- 

 loppement de la forme 



u — b = oi{z — a)-\- '^{z — ay--\- 



Les seuls points critiques pour la fonction algébrique u de z dé- 

 finie par l'équation y (;:, u) = o seront les points de la courbe où 

 la tangente est parallèle à l'axe des w, si ces points ne sont pas 



