TRANSFORMATIONS R I R AT I ONN E LLE S. 279 



Les exposants, rangés par ordre de grandeur croissante, sont 

 71 — 1 . 171 — 1 , 2 /i + V — I ; le degré et la classe sont les mêmes 

 pour le nouveau cycle que pour le cycle primitif. 



Dans la suite, nous supposerons toujours que la conique direc- 

 trice I rencontre la courbe C en des points distincts, ainsi que sa 

 polaire réciproque, et que ces points sont origines de cycles du pre- 

 mier degré et de la première classe. SI la tangente en un point M 

 de C est tangente à Z sans que M soit sur 2J, on est ramené au cas 

 précédent, car le point correspondant M, de la polaire réciproque 

 C, sera sur S sans que la tangente en M, à Ci soit tangente à S. 



127. Etant do7inée une cou7^be algéb7^ique quelco7ique, on 

 peut lui faire co/'7'espondre, poi7it pa7' point, pa7' ujie transf 07^- 

 mation bi7xitio7i7ielle, utie aul7'e cou7'be algéb/^ique n'ayant 

 que des cycles linéai7'es. 



11 suffît évidemment de montrer que, si une courbe algébrique 

 a des cycles de degré supérieur à un, on peut, par une transforma- 

 tion birationnelle, abaisser le degré d'un de ces cycles sans aug- 

 menter le degré d'aucun autre cycle. Soient 71 et v le degré et la 

 classe du cycle considéré; appliquons à la courbe la transfor- 

 mation précédente, la conique directrice I n'ayant, comme il a 

 déjà été expliqué, aucune position particulière. Si v est inférieur 

 à /i, le degré du nouveau cycle sera égal à v, et, par conséquent, 

 inférieur à /z. Si v est supérieur à /î, le degré du nouveau cycle 

 sera égal à 71, mais sa classe sera v — n. En répétant la transfor- 

 mation par rapport à la conique - ou à de nouvelles coniques un 

 nombre assez grand de fois, on finira par arriver à un cycle dont 

 la classe sera inférieure ou égale à n. Dans le premier cas, une 

 nouvelle transformation abaissera le degré du cycle. 



Le seul cas qui demande un examen particulier est donc celui 

 où la classe est égale au degré ou à un multiple du degré. Em- 

 ployons les coordonnées cartésiennes et supposons qu'on ait pris 

 pour origine des coordonnées l'origine du cycle, l'axe des y ne 

 coïncidant pas avec la tangente au cycle. Le développement de y 

 contiendra un certain nombre de termes entiers en .r, 



a g+i 



y =i'P{x)-\- kx'^^'' -~ k^x^^ «-T-... o<a</2, 



