TRANSFORMATIONS B I R A T I ON N E LL E S. 'iSl 



(\ey" ( ' ). On aura ensuite 



en posant 



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ây" 



Oo do , Oz> „ 

 Ox dy -^ dy' "^ 



I 



et, d'une manière générale, 



I — iin^-r, y, y , ...,y ) . / do ^ do , do ^A" 



Supposons qu'on ait choisi les coefficients de la conique direc- 

 trice de façon que j-^et ^ + ^ j'^ j^y ne soient pas nuls pour 



l'origine. La première dérivée Y^«^, qui deviendra infinie pour 

 l'origine du cycle transformé sera la dérivée d'ordre q. On a donc 

 r = q — i^ c'est-à-dire que les termes fractionnaires apparaissent 

 un rang plus tôt dans le cycle transformé que dans le cycle primitif. 

 Gomme on peut répéter la transformation tant que q est supé- 

 rieur à 2, on finira par arriver à un cycle représenté par un déve- 

 loppement tel que 



y = ax -h bx- -h ex " -\- . . . o<2</i 



ou, en changeant les axes, 



y = bx'^ -^ ex '' -i- 



En coordonnées homogènes, ce cycle est représenté par les équa- 

 tions 



(') On peut s'en rendre compte a priori. Si V ne dépendait que de x,y, y', 

 la transformation serait une transformation de contact , c'est-à-dire qu'elle 

 changerait deux courbes tangentes en deux courbes tangentes. Or à la tangente 

 en M à la courbe C correspond cette tangente elle-même; les deux courbes C 

 et C auraient donc les mêmes tangentes, ce qui est impossible. 



