282 CHAPITRE VI. 



Si l'on se reporte aux calculs du paragraphe précédent, on trouve 

 pour les coordonnées d'un point du cycle, après une nouvelle 

 transformation, 



X = — nt't-'^ + . . . 



Z = n /2"-i H- 9. n h t'^'i-^ -i- . . . 



Les expressions X, Z, Y + 26Z commencent par des termes de 



degré 



n — ! , 111 — [ , 2 /i — I + a ; 



la classe du nouveau cycle est égale à a, qui est <^ n. Une dernière 

 transformation abaissera donc le degré du cycle. 



Nous voyons, en résumé, qu'on peut toujours, par une suite de 

 transformations d'Halphen, abaisser le degré d'un cycle, si ce 

 degré est supérieur à l'unité. Gomme cette transformation n'aug- 

 mente jamais le degré d'un autre cycle, la proposition énoncée se 

 trouve établie. 



128. On n'a pas épuisé ainsi tout le parti que l'on peut tirer 

 de la transformation d'Halphen. Une courbe n'ayant que des cy- 

 cles linéaires pourra avoir des points multiples d'ordre quel- 

 conque, et en chacun de ces points multiples il pourra y avoir 

 des branches de courbe ayant un contact d'un ordre aussi élevé 

 qu'on voudra, chacune de ces branches étant représentée, avec 

 des axes convenables, par un développement de la forme 



y = ax -h bx''- -\- cx^ -+- . . . , 



où ne figure aucun exposant fractionnaire. Appliquons à cette 

 courbe G la transformation par rapport à une conique directrice ^ 

 n'ayant pas de position particulière. Si deux cycles de G ont la 

 même origine sans être tangents, les cycles correspondants de G 

 n'auront pas la même origine; un point multiple d'ordre /• à tan- 

 gentes distinctes est donc remplacé par/' points distincts. Si deux 

 cycles de G ont en un point un contact d'ordre ;z, les cycles cor- 

 respondants de G' auront un contact d'ordre n — i^ d'après ce 

 qu'on a vu plus haut; car, d'une manière générale, Y^") dépend 

 de x^y^y\ .. .jjK^""^'^ et est une fonction linéaire de ^'("+<^. Par 



