TRANSFORMATIONS B I R AT lONNELLES. 283 



suite, en appliquant la transformation autant de fois qu'il est 

 nécessaire, on remplacera tous les cycles de G ayant une ori- 

 gine commune par des cycles ayant toutes leurs origines diffé- 

 rentes. On a dispersé ainsi toutes les singularités de la courbe 

 donnée. 



Il reste à examiner si l'on n'introduit pas des singularités nou- 

 velles, chaque fois qu'on applique la transformation d'Halphen. 

 G, G', 2] ayant toujours la même signification, soit N un point 

 quelconque du plan; pour reconnaître si ce point N appartient à 

 la courbe G', on procédera comme il suit. Soit P la polaire du 

 point N par rapport à S et Mi, Mo, ..., jM,„ les m points d'in- 

 tersection de cette polaire avec la courbe donnée G. Pour que 

 le point N appartienne à la courbe G', il faut et il suffit que la 

 tangente à la courbe G en un des points M^ aille passer par le 

 point N. S'il en est ainsi, il y aura en général un seul point M, 

 satisfaisant à cette condition. Le point N sera un point double si 

 les tangentes à la courbe G en deux des points M/ vont passer en 

 N; en écrivant ces conditions, on a deux relations pour déter- 

 miner les coordonnées (^^^o, J'o) du point N. Il y aura donc en 

 général sur G' un certain nombre de points doubles provenant 

 de la superposition de deux points distincts de G. Il n'y aura pas 

 de point triple, si la conique S n'a pas été prise d'une façon 

 particulière, car il faudrait que les tangentes en trois des points 

 M/ soient concourantes, ce qui exigerait évidemment une relation 

 entre les coefficients de ï. Pour la même raison, les tangentes aux 

 nouveaux points doubles seront distinctes. 



Ge qui est vrai d'une seule transformation s'applique naturel- 

 lement à une suite de transformations et, en réunissant tous les 

 résultats qui ont été établis, on peut énoncer l'important théo- 

 rème dû à M. Nother (* ) : 



A toute courbe plane algébrique on peut faire corres- 

 pondre , par une transformation birationnelle , une autre 



(') En réalité, M. Nother a seulement démontré qu'on peut transformer toute 

 courbe algébrique en une autre, qui n'a que des points multiples à tangentes dis- 

 tinctes, ce qui suffit dans la plupart des applications. Au sujet de cette question, 

 on pourra consulter deux Notes récentes, dans les Comptes rendus, de M. Poin- 

 caré (t. CXVII, p. 18) et de M. Simart (t. CXVI, p. Î047). 



