284 CHAPITRE VI. 



courbe plane algébrique, n'ayant cV autres points multiples 

 que des points doubles à tangentes distinctes. 



Il est permis de supposer que, dans cette transformation, les 

 cycles de la première courbe, qui ont leur origine en nn point 

 multiple, correspondent tous à des cycles de la seconde courbe 

 ayant leur origine en des points simples. C'est ce qui résulte bien 

 clairement des développements qui précèdent. 



Il29. Etant donnée une courbe algébrique plane représentée 

 par l'équation 



(7) F(5,«) = o, 



on appellera genre de cette courbe le genre de la surface de 

 Riemann correspondante, quand on regarde u comme une fonc- 

 tion de z définie par la relation (^). D'après le théorème du 

 n" 122, ce nombre ne dépend pas des axes de coordonnées et, plus 

 généralement, se conserve par toute transformation birationnelle. 

 Proposons-nous d'évaluer le genre d'une courbe dont les seuls 

 points singuliers sont des points multiples à tangentes distinctes 

 et des points de rebroussement de première espèce. Nous choisi- 

 rons pour cela les axes de coordonnées de façon à satisfaire aux 

 conditions suivantes : i" la courbe, supposée de degré ni, a ni 

 points distincts à l'infini, et aucune asymptote n'est parallèle à 

 l'axe des u ; 2° aucune tangente en un point multiple n'est parai ■ 

 lèle à l'axe des u ; 3" les tangentes parallèles à O;^ ont un contact 

 du premier ordre avec la courbe. 



La surface de Riemann correspondante aura m feuillets et 

 N -f- /' points de ramification simples, provenant des /■ points de 

 rebroussement de première espèce et des N points où la tangente 

 est parallèle à O^^. On aura donc pour le genre y? (§ 109) 



p — m -\- i , 



2 



En groupant ensemble les termes du même degré, F(r, u) peut 

 s'écrire 



