TRANSFORMATIONS B I R A T I N N E L L E S. 285 



C5,w(i,c) étant un polynôme de degré m en c, tel que l'équation 

 c,;/ = o ait m racines distinctes c, . ... c,„. On a de même 



où 



o;„(.,e)=%-'. 



Le résultat de l'élimination de j' entre les deux équations 



F(5,z<j=o, — r=F,(j, ?o = o 



est une équation entière en ^ 



m 



(8) A(.^) = JJf,(^,z//) = o, 



/= 1 



où ;/,, i/o, ..., Um désignent les m racines de l'équation F = o ; A(:î) 

 est un polynôme entier en z de degré ni {m — i). En effet, c'est 

 une fonction symétrique entière de //|, .... //«iCt, par suite, un po- 

 lynôme entier en z. Pour évaluer son degré, considérons les m 

 valeurs de u dans le domaine du point :? = oc ; on a par exemple, 



dans ce domaine, 



a'" 



iti = c/ 3 + a[, -T- "7 - . . . , 



de sorte que, dans F,(c, ///), le terme du degré le plus élevé 

 sera ;:"'"' cp^„ (i , c/) puisque, par hypothèse, cp,'„(i,c/) n'est pas 

 nul. Le produit des ni facteurs analogues sera donc de degré 

 m (/7i — i). 



Les racines de l'équation (8) ne peuvent provenir que des 

 points multiples et des points simples de la courbe où la tangente 

 est parallèle à Ou. Examinons d'abord ces derniers points. Si au 

 point (a, b) la tangente est parallèle à Ou, on a, dans le voisinage 

 de ce point, 



F(^, m) = A{z — a ) -:- B{ii — by- -^ C{z — a) (a — Ù) -^ ... 



les coefficients A et B n'étant pas nuls, d'après les hypothèses 

 faites. Les deux valeurs de u^ qui deviennent égales à b pour -• = «, 



