'286 CHAPITRE VI. 



sont représentées par un même développement 



A 



^=\/-s'(---y- 



où Ton attribue au radical y/^ — a ses deux déterminations. D'autre 



part, on a 



dF 



Fi = — ^iBdi- b)-+-C(z — a)^ 



du / \ , 



Si dans F, on remplace u par une des racines précédentes, le 



résultat sera d'ordre - en (z — a). Comme il y a deux facteurs de 



cette espèce dans A (3), on voit que A(^) est divisible simple- 

 ment par ;:; — a. Ainsi, les abscisses des points de contact des 

 tangentes parallèles k O it donnent des facteurs simples dans 



Supposons maintenant que le point («, b) soit un point mul- 

 tiple d'ordre q à tangentes distinctes, aucune de ces tangentes 

 n'étant parallèle à Ou; F (z, u) peut alors s'écrire 



Y (^z, u) = {z — a)n 'o,i {\ , _ _ \ -^{z — a)'i+^Orj+, ( i, ___ ^) + • • • , 



cp<y(i,c) étant un poljnome de degré q n'ayant que des facteurs 

 simples. De même 



T-l . , , [ II' ^ \ 



Fj (^, u) z= (^ - «;<7-i ?^i , __ ^ J + • . . . 



Si Cl, Co, ..., Cq sont les q racines distinctes de l'équation 

 cp^(i, c) = o, les q valeurs de u^ qui deviennent égales à h pour 

 ^ =: a, sont représentées par q développements de la forme 



m — h = Ci(^z — a) -^ di{z — ay- -\- . . . \ 



Y^i^z^Ui) sera du degré (</ — i) en (^ — a), car son premier 

 terme est (^ — a)^~' ?</(*? ^i)- Comme il y a^ facteurs analogues, 

 A (^) sera divisible par (^ — a)^^^~'^ ; un point multiple d'ordre q 

 à tangentes distinctes donne dans A (5) une racine multiple d'ordre 

 ^ (<7 — i) de multiplicité. 



Enfin supposons que le point (a, h) soit un point de rebrous- 



