TRANSFORMATIONS B I R A T I ONN E LLE S. iSy 



sèment de première espèce, où la tangente n'est pas parallèle à 

 0;^. En transportant l'origine en ce point, ce qui est évidemment 

 permis, on a 



¥(z, u) = \(u — mzy- -^ z-i-o^ ( i ,-] 4- ..., 

 '^3 (i, m) n'étant pas nul, et 



¥i(z, II) = 2X(u — mz) -+- -2oW I , - j -^ 



Les deux valeurs de u^ qui deviennent nulles pour ; = o, ont un 

 même développement de la forme 



u z^ mz -T- xz- -r- . . . . 2 ^ o ; 



3 

 Fi(z^u) est de degré - et par suite A (3) est divisible par z'-^. 



Un point de rebroussement de première espèce donne donc une 



racine triple. En écrivant que ^(z) est de degré ni (m — i) , il 



vient 



N -t- Z ^ ( ^ — I ) -h 3 /• = /« ( /n — 1 ) ; 



portons la valeur de N dans la formule qui donne /?, il reste, toutes 

 réductions faites, 



(m — i)(fn — -î) ^g(ç — O 



,9) ^^ (,„-n.«-. ,_-^ 



— r. 



Si, en particulier, la courbe n'a que d points doubles à tangentes 

 distinctes, on a 



(10) p= ^ '-d—r; 



on retrouve ainsi la définition géométrique du genre. 



La comparaison des deux formules (9) et (10) montre qiiaa 

 point de vue du genre, un point multiple d'ordre q à tan- 

 gentes distinctes équivaut à ^-^- points doubles ordinaires. 



130. Appliquons ces considérations aux courbes pour lesquelles 

 p a les plus petites valeurs. SoitC une courbe de genre zéro; d'après 

 le théorème de M. Nôther, on peut lui faire correspondre, point 



