'288 CHAPITRE VI. 



par point, une courbe G', aussi du genre zéro, n'ayant que des 



points doubles. Si cette courbe G' est du degré m, elle possédera 



I 1 • 1 • ^ 1 11 -^ C'^' — i)(m — i) ^ 

 le nombre maximum de points doubles, soit • Ur, 



les coordonnées d'un point d'une pareille courbe s'expriment, 

 comme on sait, par des fonctions rationnelles d'un paramètre 

 variable t, de façon qu'à un point variable de la courbe ne corres- 

 ponde qu'une valeur de /. 11 suffit de couper la courbe G' par un 



!• • j 1 j j '/ \ . } (fn — i)(m — •:>.) 

 laisceau de courbes de degré (/?? — i) passant par les ;- 



points doubles et par '2 m — 3 points simples pris à volonté sur G', 



r . . , ^ ^ i('^î — i)(m — 2) 

 ou par un faisceau de courbes Lim-2 passant par les 



points doubles et par m — 3 points simples de G'. 



Inversement, supposons :; et u exprimées par des fonctions ra- 

 tionnelles quelconques d'un paramètre t 



^ = F(0, ii = ^{f)-^ 



le point de coordonnées (^, u^ décrit une courbe G de genre 

 zéro. Si à un point de la courbe G ne correspond qu'une valeur 

 de /, la démonstration est immédiate. Des formules précédentes 

 on tire en effet t = W(:j, u), W étant une fonction rationnelle, et 

 la courbe G correspond point par point à la courbe de genre zéro, 

 iv ^= t. Elle est donc elle-même de genre zéro. 



J^orsque plusieurs valeurs de t donnent un même point (^, ?/), 

 la représentation est impropre, et le raisonnement précédent ne 

 s'applique plus. Mais M. Liiroth (*) a démontré qu'il suffit d'un 

 simple changement de la variable indépendante pour être ramené 

 au cas précédent. Soient 



les expressions des coordonnées, /(a), cp(X), «J>(a) désignant trois 

 polynômes. Nous supposons qu'il existe n valeurs de À donnant 

 le même point (^, u) ou, d'une façon plus précise, que les deux 

 équations 



^ ^^ ^O^i) ^(>0' ^ih) '^{l)' 



(') LùROTH, Mathematische Annalen, t. IX, p. i63. 



