TRANSFORMATIONS R 1 R A TIO NNE LLE S. 289 



ont, quel que soit).,, rt racines communes ).,, )w, . . ., \,i. Ces n ra- 

 cines sont en général distinctes, sauf pour des valeurs particulières 

 de X,. En effet, écrivons les équations 



(i3) 





si \i était une racine multiple de ces deux équations, on 

 aurait 



et par suite 



f\h)^{h)-^'{h)fai) = o. 



Le rapport j^— y- serait donc une constante; or, la racine mul- 

 tiple )>/ varie évidemment avec A,, et l'hypothèse est inadmis- 

 sible. 



Si donc on cherche le plus grand commun diviseur des deux 



polynômes /(À)M^^h)-'K^)/(>-.) et 'f 00 'M>h ) - '^OO ?(>^0. 

 on obtient un polynôme de degré n en )., qui n'est autre que le 

 produit (A — A,) (À — Ào) ... (a_à,^), abstraction faite d'un fac- 

 teur indépendant de À. Soit '}(a, A,) ce plus grand commun divi- 

 seur 5 comme les deux polynômes précédents ne font que changer 

 de signe quand on permute \ et A,, 'i{\ )h ) sera aussi du degré 

 n en 1,, 



6(X,Xi) = Oo(X,)X«4-cpi().,)X«-i+...+ cp„().i), 



?o()^i), 'f I ()^i), . . ., '-p/i(X, ) étant au plus du degré n en À,. 



Si dans l'équation 'J;()., a,) = o on remplace successivement 

 X, par Ao, . . ., A„, cette équation aura toujours les mêmes racines, 

 car les valeurs A,? ^^2, • • •, A/^ q"i correspondent à un même point 

 (^, u) forment un groupe inséparable. Il s'ensuit que les coefli- 



co -f X ) 



cients ^'-^ reprennent les mêmes valeurs quand on y remplace A 



par )v,, Ao,..., A,i- Choisissons 'f/(A) de façon que ce coefficient 

 ne se réduise pas à une constante, et posons 



cpo(X)' 

 A. ET G. iq 



