TRANSFORMATIONS B I RAT lONN ELLES. 29I 



les formules analogues pour C. Si Ton établit entre ^ et T une 

 relation linéaire 



(14 ) AT;-f-B^-i-CT-^D = o, 



on voit que Z, U s'expriment rationnellement au moven de z^ u 

 et inversement. On a ainsi la transformation birationnelle la plus 

 générale que l'on puisse établir entre les points des deux courbes 

 G, C; il est clair, en effet, que toute correspondance biration- 

 nelle entre les points de ces deux courbes donnera entre ^ et T 

 une relation algébrique qui devra être du premier degré par rap- 

 port à chacune des variables. La relation (i4) dépend de trois pa- 

 ramètres dont on peut disposer de façon qu'à trois points déter- 

 minés de C correspondent trois points arbitraires de G^ Comme 

 cas particulier, il peut arriver que ces deux courbes coïncident, 

 et l'on voit qu'^Y existe une infinité de transformations hira- 

 tionnelles, dépendant de trois paramètres arbitraires , par 

 lesquelles une courbe du genre zéro se change en elle- 

 même. 



Les intégrales abéliennes relatives à une pareille courbe se ra- 

 mènent immédiatement à des intégrales de fractions rationnelles. 

 Il n'y a pas d'intégrale de première espèce. 



132. Passons au cas oii /? = i. Etant donnée une courbe du 

 premier genre C, nous pouvons toujours supposer, d'après le 

 théorème de M. Nother, qu'elle n'admet que des points doubles à 

 tangentes distinctes. Si elle est de degré m, elle aura donc 



(m — \)( m — 2 ) m (m — 3 ) . -, 11 ^ m (m — 3 ) 

 -^ —1= — ^ pomts doubles. Ces — ^ - 



points doubles^ joints à m — 2 points simples pris à volonté 

 sur C, déterminent un faisceau de courbes d'ordre m — 2, 



^m~2i car 



jnim — 3) (m — 'i)(m-\-\^ 



-f- m — .2 = I . 



j. 1 



Soit 



(i5) ^{z,u)^t'h{z,u) = o 



l'équation d'une courbe de ce faisceau; elle rencontre la courbe C 

 en /w(/n — 2) points dont deux seulement sont variables avec t. 



