292 CHAPITRE VI. 



En effet, chaque point double compte pour deux points d'inter- 

 section, et l'on a bien 



m {m— 3 ) + m — -2= m{m — 2 ) — 1 ( * ). 



On obtiendra les coordonnées de ces deux points d'intersec- 

 tion variables par la résolution d'une équation du second degré à 

 coefficients rationnels en t^ de sorte que les coordonnées d'un 

 point de G s'exprimeront au mojen de t par des formules de la 

 forme suivante : 



(16) 



Si(0 



p, Q, Pi, Qi, S, Si, R étant des polynômes entiers en t^ dont le 

 dernier R(^) est supposé sans facteurs multiples. De considéra- 

 lions géométriques bien connues (2), on déduit que R(^) est du 

 troisième ou du quatrième degré; c'est aussi une conséquence 

 immédiate du théorème général sur la conservation du genre. Po- 

 sons, en effet, 



«. = y/R(7); 



des formules (i5) et (16) on tire ^ et wp en fonctions rationnelles 

 de z et de u. La courbe G et la courbe G' représentée par l'équation 

 (v-= R(^) se correspondent ainsi point par point par une trans- 

 formation birationnelle. La courbe G étant de genre un, il doit en 

 être de même de la seconde courbe, ce qui exige que R(^) soit 

 du troisième ou du quatrième degré (§ 109). 



Si R(^) est du troisième degré, la seconde courbe sera du troi- 

 sième degré. Si R(^) est du quatrième degré, soit a une racine 

 de l'équation R(^)= o; la transformation birationnelle 



I y 



X x^ 



(*) Si un seul des deux points d'intersection inconnus était variable avec t^ 

 les coordonnées de ce point seraient des fonctions rationnelles de t, et la courbe 

 serait du genre zéro. On peut employer aussi un faisceau de courbes C,„_,, pas- 

 sant par les points doubles, et 2 /n — 2 points simples de C. 



(^) Clebscii, Ueber diejenigen Curven dereii Coordinaten sich als elliptische 

 Functionen eines Parameter darstellen lassen {Journal de C relie, t. LXIV). 



