TRANSFORMATIONS B IR ATIONNELLES. 298 



ramène encore à une courbe du troisième degré. Ainsi, ci toute 

 courbe de genre un on peut faire correspondre, par une trans- 

 formation hirationnelle, une courbe du troisième degré, qui 

 sera nécessairement sans point double. On dit que la cubique 

 sans point double est la courbe normale du premier genre. 



Inversement, les coordonnées d'un point d'une cubique peuvent, 

 et d'une infinité de manières, s'exprimer rationnellement au 

 moyen d'un paramètre t et de la racine carrée d'un polynôme du 

 quatrième degré en t^ R(0- ^ suffît de couper la cubique par un 



faisceau de droites 



y —yQ= t{x — x^), 



passant par un point fixe {oCq, y^) choisi arbitrairement sur cette 

 courbe. Les racines du polynôme R(^) ont une signification géo- 

 métrique évidente; ces racines sont les coefficients angulaires des 

 quatre tangentes que l'on peut mener du point {^qi^q) à la cu- 

 bique. Quel que soit le point (^o; J'o) choisi sur cette courbe, ces 

 quatre tangentes ont même rapport anharmonique, et, par consé- 

 quent, Finvariant absolu de la forme biquadratique ^^, R ( — ) ne 



dépend pas du point (^o? J'o)- On n'obtient donc pas de représen- 

 tations essentiellement distinctes. 



Le théorème de Géométrie qui vient d'être rappelé se démontre 

 très aisément au moyen d'une remarque qui peut être utile. Sur 

 une courbe du troisième ordre, sans point double, prenons deux 

 points fixes A et B, et soient X, \k les coefficients angulaires des 

 deux droites AM, BM joignant les deux points A et B à un point 

 quelconque M de cette cubique. Il est clair qu'il existe une rela- 

 tion algébrique entre ). et iji, et cette relation doit être du second 

 degré par rapport à chacune des variables ; elle est donc de la 

 forme 



)v2(A{Jl2_}_B;jL-4-C) 



^ ^^ j +X(Aifji24_Bi;jL-T-Ci)+ Ao.u^^-Ba.u+Co 



et peut encore s'écrire 



Si la droite de coefficient angulaire X, issue du point A, est 



