igi CHAPITRE VI. 



tangente en un aulre point à la cubique, les deux valeurs corres- 

 pondantes de [A doivent être égales. Par suite, les coefficients an- 

 gulaires des tangentes issues de A sont les racines de l'équation 

 du quatrième degré 



. ox \ R(X) = (BA2 + Ba+B,)-2 



^ ^ \ -4(AX2 + AiX-i-A2)(G).2+CiX + C2) = o. 



De même, les coefficients angulaires des tangentes issues du 

 point B sont les racines de l'équation 



Il s'agit de faire voir que le rapport anharmonique des quatre 

 racines est le même pour les deux équations. Comme ce rapport 

 anharmonique ne change pas par une substitution linéaire, la pro- 

 position sera évidemment établie si l'on démontre qu'on peut, par 

 une substitution linéaire de la forme 



^ , a\ -y- b , aa H- B 

 A = -.— — -, j \x = — '- , 



ck -^ a Y[Jt.-i- 



ramener la relation (17) à une relation symétrique en X et [Ji. 

 Choisissons pour cela, ce qui est toujours possible, les coeffi- 

 cients des deux transformations, de telle façon que, pour X = o, 

 l'équation (17) ait une racine double infinie en u., et, pour a = o, 

 une racine double infinie en \. Dans ces conditions, on a 



A2 = B2 = o, G = Cl = o 

 et la relation (17) prend la forme 



A X2 fx2 -1- X|Ji ( B X -H Al [JL-H Bi ) + C2 = o. 



Si AiB n'est pas nul, il suffira de remplacer u par — pour être 



Al 



ramené à une relation symétrique. On ne peut avoir A,B= o; on 



vérifie, en effet, que les deux équations R(X)=r=o, R,(!jl) = o 



auraient chacune une racine double. Ce cas ne se présenterait 



que pour une cubique ajant un point double. 



133. Considérons, comme application, les courbes de genre un 

 représentées par une équation binôme. On a vu (n° 112) que ces 



