TRANSFORMATIONS B I R ATI ONNELLE S. 2^5 



courbes se partagent en quatre groupes; les équations apparte- 

 nant à un même groupe peuvent, par quelques transformations 

 simples, qui sont précisément des transformations birationnelles, 

 être ramenées à une forme type. On peut prendre, par exemple, 

 pour formes types les suivantes : 



(A) u^.^(^z-a)(z-b){z-c), 



(B) iû = {z-a)(z-b), 



(C) u'*=^(z-a}(z-by-, 



(D) u6 = ç^-^ay{z — b)K 



Nous n'avons évidemment à nous occuper que des trois der- 

 nières équations (B), (C), (D). Si, dans l'équation (B), on pose 

 K = t^ il vient 



a-\- b / /a -i- b\- . 



et cette équation, jointe à la relation u = t^ donne évidemment 

 une solution du problème. 



De même, dans l'équation (C), posons 



z = a-^ t^-^ 

 il vient 



u'* = t^-{t^- ^a — by-j 

 d'où l'on tire 



u =: \/ 1 i^t- -\- a — b). 



Enfin, dans l'équation (D), il suffit de poser 



z = b-\-t^ 

 et Ton obtient pour u la valeur 



u = tï sj ti — b — a. 



134. Toute courbe du premier genre admet une infinité de 

 transformations birationnelles en elle-même. La proposition sera 

 établie, si on la démontre pour une cubique; or, dans ce cas par- 

 ticulier, le théorème est presque évident. Il suffit en effet de 

 prendre sur la courbe du troisième degré un point quelconque A 

 et de faire correspondre à un point M de la cubique le troLsième 

 point de rencontre de cette cubique avec la sécante AM. 



