296 CHAPITRE VI. 



Cette remarque' bien simple permet déjà d'intégrer l'équation 

 d'Euler. Soient 



l'équation d'une courbe du troisième degré, (a, P) les coordon- 

 nées du point fixe A, {x, y) et {x' , y') les coordonnées des points 

 M et M'. On a entre ces coordonnées des relations de la forme 



(.,^) \x=\\ (^',y,a,P), 



et inversement 



(22) i ^'=R (^,r,«,P), 



R et R, étant des fonctions rationnelles. 



L'intégrale de première espèce, attachée à la courbe (20), 



dx 



J \Jx'^ -4- px- -\- qx -^ r 



devient, après la transformation (21), une intégrale de première 

 espèce attachée à la même courbe y^- = x'^ -^ px'- + qxJ'^ + r 

 c'est-à-dire que l'on a 



J Vx-^-+-px^-h qx-+- r J ^x"^ 



dx' 



-i-px'^ -+- qx' -v r 



et, comme les deux transformations (21) et (22) sont inverses 

 l'une de l'autre, on a forcément A^ = i, et par suite 



(23) "^^ , dx' 



s/x^-^px-^^ qx-+-7^ \/x'-i-i-px'-^-^qx'-{-r 



Les formules (21) donnent donc une intégrale de l'équation (23) 

 et, comme ces formules renferment un paramètre arbitraire (a, (3), 

 elles donnent l'intégrale générale. 



Il est facile de développer les calculs. Soit 



y = mx -\- n 



^équation de la droite M A M'; x,x\^ sont les trois racines de 

 l'équation 



