TRANSFORMATIONS B I R A T I ONNE LLE S. 297 



On a donc 



OL -^ X -h t' = m- — /?, 



a{x -T- x') -T- xx' = g — imn, 

 axx' = n- — /•- 



L'élimination de m et n entre ces trois équations conduit à la 

 relation cherchée 



a(x-i- x') -+■ xx' = q — is/ {r -^ ocxx'){p H- a -i- x -i-x')y 



qui contient une constante arbitraire a. 



En combinant deux transformations birationnelles telles que 

 la précédente, on obtient de nouvelles transformations, par 

 lesquelles la cubique se change en elle-même. Ainsi, étant don- 

 nés deux points A et B sur cette courbe, faisons se correspondre 

 les points M et M' tels que les sécantes BM' et AM concourent 

 en un nouveau point de la cubique. Si le point A reste fixe et 

 qu'on fasse varier le point B, on obtient une infinité de trans- 

 formations dépendant algébriquement d'un paramètre, l'abscisse 

 du point B par exemple, et, lorsque B est venu en A, la trans- 

 formation considérée se réduit à la transformation identique. 

 Ainsi, toute courbe de genre un admet une infinité de trans- 

 formations birationnelles en elle-même, dépendant algébri- 

 quement d^ un paramètre t, 



x' =K {x,y,t), 



y = Ri{x,y,t), 



et telles que, pour une valeur particulière /q de ceparamètre, 

 on ait identiquement 



x'=Xj y = y. 



i3o. Considérons encore les courbes du genre 2. Si une 

 courbe C,„, de genre 2, n'a que des points doubles ordinaires, 

 le nombre d de ces points doubles est égal , d'après la for- 

 mule (10) (§129), à 



(m — \')(m — 'i) m(m — 3) 



— ^ — 2 = — I. 



9. 2 



On peut encore trouver un faisceau de courbes rencontrant 



