298 CHAPITRE VI. — TRANSFORMATIONS B I R A T I ONNE LLE S. 



Cm en deux points variables seulement, soit en prenant un fais- 

 ceau de courbes de degré m passant par les d points doubles de Cm 

 et par 3 /?z points simples, soit en prenant un faisceau de courbes 

 de degré m — 3 passant par les d points doubles de Cm- En repre- 

 nant les raisonnements du n° 132, on en conclut que les coor- 

 données d^ an point d'une courbe de genre 1 s'' expriment ra- 

 tionnellement au moyen d'un paramètre t et de la racine 

 carrée d'un polynôme du sixième degré R(^) (^ ). 



D'une façon plus précise, à toute courbe de genre 2, on peut 

 faire correspondre, par une transformation birationnelle, une 

 courbe représentée par une équation de la forme 



(24) w^- = X{t — ai) {t — a,) . . . {t ~ a(,) . 



Si Ton pose encore ^ = ^, w ^=:^ [x — a^)[x — <^2)jKj on voit 

 que la courbe (24) correspond point par point à la courbe du qua- 

 trième ordre 



(25) j2(^ — ai){x — a^) = A(^ — «3) ... (x — «g), 



qui a un point double à l'infini. Inversement, toute courbe 

 du quatrième ordre, ayant un point double, est du genre 2. On 

 peut donc prendre cette courbe pour la courbe normale du 

 genre 2. 



(') ScHWARZ, Essai de déîiionstration d'un théorème de Géométrie {Journal 

 de Mathématiques pures et appliquées, 3" série, t. VI, p. iii-ii/j). 



