NTEGRALES NORMALES. 299 



CHAPITRE VII. 



INTÉGRALES NORMALES. — DÉCOMPOSITION 



D'UNE INTÉGRALE ABÉLIENNE EN ÉLÉMENTS SIMPLES. 



CAS DE RÉDUCTION (i). 



Formation des intégrales de première espèce. — Courbes adjointes. — Intégrales 

 de seconde et de troisième espèce, — Intégrales normales des trois espèces. — 

 Périodes des intégrales normales. — Échange du paramètre et de l'argument 

 dans les intégrales de troisième espèce. — Intégrales de seconde espèce déduites 

 de l'intégrale de troisième espèce. — Réduction d'une intégrale quelconque à 

 une partie algébrique, à des intégrales de troisième espèce et à 2^0 intégrales 

 de première et de seconde espèce. — Intégrales algébriques. — Intégrales lo- 

 garithmiques. — Intégrales de première espèce réductibles à des intégrales 

 elliptiques. 



136. Nous avons déjà indiqué sommairement (n^ 117) comment 

 on partage les intégrales abéliennes en intégrales de première, 

 de deuxième et de troisième espèce. Nous allons, dans ce Chapitre, 

 revenir sur ce sujet, et nous proposer d'abord de former les inté- 

 grales de ces trois espèces. 



Pour déterminer les intégrales de première espèce relatives à 

 une courbe donnée 



(i) F{z,u) = o, 



de degré m, nous supposerons qu'on a effectué, s'il est néces- 

 saire, une transformation homographique de façon que les m 

 coefficients angulaires des asymptotes aient des valeurs distinctes 

 el finies. Aucune asymptote n'étant parallèle à l'axe des w, l'équa- 



(') A.uteurs à consulter : Riemann, Théorie der AheVschen Functionen; — 

 Clebsch et GoRDAN, Théorie der AbeVschen Functionen, Chap. IV et V; — Abel, 



Sur l'intégration de la formule différentielle j ^-j=^.j R et p étant des fonc- 

 tions entières. 



