300 CHAPITRE VII. 



tion (i) renferme un terme en ^^'^% et peut s'écrire 



(i') F(^, u) = Aoa'«+ Aiw"^-i +... + A/w'«-i'+...+ A„i = o, 



Ao étant une constante et A/ un poljnome en jz de degré i an 

 plus. Les m valeurs de u pour une valeur de ;:; de module très 

 grand sont fournies par m développements distincts, tels que 



,0 . 



Ui = CiZ -h ai^ ^ -^. .. (i— 1,2, m). 



z 



Soit 



f ^{z,u]dz 



(-o,"o) 



une intégrale abélienne relative à cette courbe. Il est évident que, 

 si cette intégrale est de première espèce, c'est-à-dire reste finie 

 pour toute valeur de ^, la fonction rationnelle 0(5, w) satisfait 

 aux conditions suivantes : 



i^ Pour des valeurs infinies de ^, elle est de l'ordre de — ou 



z^ 



2° Si en un point analytique (zto, u^) à distance finie, cp(^, u) 

 devient infinie, elle le devient d'un ordre fractionnaire et infé- 

 rieur à l'unité par rapport à _ ^ ? de sorte que ce point (^o? «<o) 



est un point de ramification de la surface de Riemann correspon- 

 dante. La même propriété a lieu pour le produit u'^ o{z, u), quel 

 que soit le nombre entier positif A", car u reste fini pour toutes les 

 valeurs finies de z. 



D'après cela, si l'on appelle ?/<, ^2, . . • , Um les m valeurs de u 

 qui correspondent à une valeur de ^, la somme 



Vk-1= U\^{Z, U^)^ u\o{z,Ui)+...-^ U^m'^iz, U,n) 



est un polynôme entier en z. En efî'et, P^_2 est une fonction 

 symétrique de Wi, ^2, • . • , Um et, par suite, une fonction ration- 

 nelle de z. Pour faire voir que c'est un poljnome, il suffit de 

 montrer qu'il reste fini pour toute valeur finie de z. Or un terme 

 quelconque de cette somme u^(f(z^ ui) ne peut devenir infini 

 qu'en un point de ramification (^oj ^^o) et, dans ce cas, il ne con- 



