INTÉGRALES NORMALES. 3oi 



I 



tient que des puissances de ^-—^ d'exposant inférieur à l'unité; 

 sa partie principale est de la forme 



ai a, a„_i 

 {z — ZqY (z — zoy (-5--S0) " 

 si le point de ramification est d'ordre n — i . La somme P^_o ne con- 

 tient donc aucune puissance entière de : dans le domaine 



^ (^ — -0) 



de ce point et, comme Pa_2 est une fonction rationnelle de z, il 

 s'ensuit qu'elle reste finie pour z =^ Zq. 



Pour avoir le degré du polynôme Pa_2, il suffit de voir de quel 

 ordre est cette fonction par rapport à z pour une valeur infiniment 



grande de z. Or, cp(^, a) étant de l'ordre de — au moins et «f de 



l'ordre de ^*, Pa_2 sera de l'ordre de z^~' au plus. On voit d'abord 

 que, si A^ est égal à o ou à i , Pk-2 sera identiquement nul, car un 

 poljnome ne peut être nul pour z infini, que s'il l'est identique- 

 ment. Si A"^ a, Pfc-2 sera de degré k — 2 au plus. On a donc, en 

 faisant successivement A' ^ o, i , 2, . . . , 7?i — i , les relations sui- 

 vantes : 



0(5, Ml) 4- 0(^,^2)+...+ o{z^U,n) = 0, 



lllO{z,Ui ) -l- W2Cp(^, M2)H-. . .+ Um^{z,U,n) = O, 

 (3) / U\0{Z,U{)^ ulo{z,U2) + . ..-^UjnO{z,U„i) =^Q, 



\ W'i«-1 0{Z, U,)^ U'r'o{z, iu)^...-^u'!^r' ?(-2, «m)= P 



/«— 3 : 



Pq. . . . ,Pi, . . . , Pni-i étant des polynômes entiers en z d'un degré 

 marqué par leur indice, ou d'un degré inférieur. 



Ces équations linéaires (3) fournissent les ni déterminations 

 de 'f (^, u). Pour les résoudre commodément, imaginons qu'on 

 ait divisé F(s, u) par (w — U{)\ le quotient est un polynôme de 

 degré m — 1 en u 



^A^±^ = Bo w'«-i + Bi a^n-2 ^...^ B,n-l , 



Il — Itl 

 où 



Bo = Ao, Bi = Ao«i4-Ai, B2 = Aoi/f -I- AiMi^- A2, ...: 



en général Ba est un polynôme de degré A en ^ et W|. 



