302 CHAPITRE VII. 



Le polynôme — ^f— s'annule pour u=^ Uo, - - .^ u = u,n ; et sa 



valeur pour u = Ui est F;^(^,^^^). Multiplions la première des 

 équations (3) par B„,_i, la deuxième par B;;,_2, . . ., la dernière 

 par Bq et ajoutons-les; il reste, en tenant compte des propriétés 

 que nous venons de rappeler, 



Q(z, w< ) étant un poljnome de degré 77i — 3 au plus en ^ et z/,, 



Q(Z, Ui)= PoB,„_3 -h Pi B„,_2 +. . .+ P,„_3Bo. 



On obtiendra de même (f{z,ui)en remplaçant, dans l'équa- 

 tion (4), Ui par m; par suite, quelle que soit la racine de l'équa- 

 tion (i) que l'on prenne pour u^ on a 



Toute intégrale de première espèce relative à la courbe (i) 

 est donc de la forme 



oîi Q(^, u) est un polynôme de degré m — 3 au plus en z et u. 



137. Il ne s'ensuit pas que toute intégrale de la forme précé- 

 dente soit de première espèce. Il faut voir à quelles conditions 

 doit satisfaire le poljnome Q(^,?/) pour que l'intégrale reste 

 partout finie. Considérons d'abord un point à l'infini de la surface 

 de Riemann, la valeur de u étant donnée parle développement 



u = az^ y-i^ ^- — H — 



z 



Par hypothèse, on a, en groupant ensemble les termes de même 

 degré, 



F(z,w) = ^'«cp,„ ll^-\^Z^n-l^^^^_^ /l^ L'") +...^ 



l'équation cp„j(i,c) = o ayant w racines distinctes. On en conclut 



r/«-i \ M 



u 

 1 



