INTÉGRALES NORMALES. 3o3 



la notation cp^ (^'t) ii^diquant une dérivée prise par rapport à 

 -• Le coefficient ^'„i{^i^i) n'étant pas nul, on voit que, si l'on 



remplace u par le développement qui précède, F^(^, u) sera de 

 l'ordre de z"^~^^ tandis que Q(^, u) sera de l'ordre de z"'''^ ou 

 d'un ordre inférieur. L'intégrale reste donc finie pour z = y^^ 

 quel que soit le polynôme Q(^, u). 



L'intégrale ne peut, par conséquent, devenir infinie qu'aux 

 points où la dérivée F'j^(xj, u) s'annule. Ces points correspon- 

 dent, comme on sait, aux points de la courbe où la tangente est 

 parallèle à l'axe des u^ et aux points multiples. Soit (sq, Uq) un 

 point de ramification où passent n feuillets ; dans le domaine de 

 ce point, les n valeurs de u qui deviennent égales à Uq sont repré- 

 sentées par un même développement en série 



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quand on remplace u par ce développement dans F^^(^, «), le ré- 



sultat est d'un certain ordre en [z — ^o)'S P^^' exemple de l'ordre 



^■ 

 de (-3 — ^o)"- Il faudra qu'en remplaçant u par le même dévelop- 



pement dans Q(^, «<), le résultat soit de l'ordre de (^ — Zq) " ou 

 d'un ordre supérieur. En écrivant que ces conditions sont satis- 

 faites pour tous les points où F',^(^, u) = o, on obtient un certain 

 nombre de relations linéaires entre les coefficients du polynôme 



Q(-s«). 



Le calcul est très laborieux lorsqu'on ne fait aucune hypothèse 

 sur les points singuliers de la courbe F(^, iC) = o. On le trouvera 

 dans la Thèse de M. Elliot (') et dans l'Ouvrage de Briot. Mais 

 si l'on veut seulement évaluer le nombre des intégrales distinctes 

 de première espèce relatives à une courbe de genre /?, on peut 

 toujours supposer qu'on a ramené la courbe, par une transforma- 

 tion birationnelle, à une autre courbe dont les seuls points sin- 

 guliers sont des points doubles à tangentes distinctes. Le calcul 

 n'offre alors aucune difficulté. 



(*) Annales scientifiques de l'École Normale supérieure, 2« série, l. VI; 



1875. 



