3o4 CHAPITRE VII. 



Prenant un cas un peu plus général, nous supposerons que la 

 courbe F{z, a) = o, de degré m, n'admet que des points multi- 

 ples à tangentes distinctes ou des points de rebî'oussenient de 

 première espèce. 



Soit d'abord (a, b) un point simple de la courbe où la tangente 

 est parallèle à l'axe des w; les développements du n°87 montrent 

 immédiatement qu^ine intégrale 



/ 





reste toujours finie en ce point, quel que soit le polynôme 

 Q(z^ u). C'est aussi ce qu'on peut voir sans calcul en remar- 

 quant que l'intégrale précédente, d'après la relation 



peut s'écrire 



'Q(z,u)du 



P 



et que F'^ (^, u) n'est pas nul au point (a, b). 



Soit, en second lieu, (a, b) un point multiple d'ordre q à tan- 

 gentes distinctes. En portant l'origine en ce point, on a 



F(Z,U)=J,^^^( I, ^ ) +^'7+1©^+, 



'fy(i, c) étant un polynôme de degré q qui n'admet que des fac- 

 teurs linéaires simples et, par suite, 



Les q valeurs de u^ qui deviennent nulles en même temps que z, 

 sont représentées par q développements distincts 



Ui= CiZ-^UiZ^--^ ... {1 = 1,2, .. .,q), 



les constantes Ci , Co, . . . , c^ étant toutes différentes. Si l'on rem- 

 place u par un quelconque de ces développements dans F,'^(:;, u)^ 

 le résultat est de l'ordre de z*^'*. Il faut, pour que l'intégrale 

 reste finie en chacun des q points analytiques correspondant 

 aux q branches de courbe, que Q(^, u) soit, après la même substi- 



