INTÉGRALES NORMALES. 3o5 



tutioD) de l'ordre de z^~* ou d'un ordre supérieur. Ceci aura lieu 

 si Q(^, w) ne contient aucun terme de degré inférieur à ^ — i 

 en z et u. Cette condition est d'ailleurs nécessaire; en effet, 

 supposons que Q(>3, u)^ ordonné en groupes de termes de 

 même degré en z et u, contienne un groupe de degré inférieur 

 à^ — 1, 



Q(^, u) = '1/,{Z, u) -{- ^;,+i{z, u) -h ... {k<q —I). 



Quand on remplace u par un des développements qui précèdent, 

 le résultat est de l'ordre de^^, à moins que l'on n'ait <J>a(«^ ci) = o. 

 Si k est inférieur k q — i , il faudrait donc avoir à la fois 



et le polynôme 6a (i, c), de degré inférieur k q — i, aurait q ra- 

 cines distinctes. Si, au point multiple (a, 6), l'axe des u était tan- 

 gent aune des branches de courbe, on aurait, en prenant ce point 

 pour origine, 



F{z,u) = z9oq-i (i, ^^j 



le raisonnement s'achèverait comme plus haut et conduirait à la 

 même conclusion. 



Enfin, supposons que le point («, b) soit un point de rebrousse- 

 ment de première espèce où la tangente n'est pas parallèle à l'axe 

 des u. On a, en portant l'origine en ce point, 



F{z,ii) = A(u — y.zy^-h:^^{z, u) -^ o:,{z, u) ~ . . . ^ 



les polynômes homogènes '-^si^-, w), Oi(z,di)j . . . étant d'un degré 

 marqué par leur indice, et o-i(Zj u) n'étant pas divisible par 

 u — OLZ. On en déduit pour u un développement de la forme 



(n° 88) 



u = y.z-^ '^z'^-+--(z^--^ ..., 



OÙ ^3 n'est pas nul. Si Ton remplace u parce développement dans 



FU^, M) = 2A(w-a^)-l--^ + ..., 



1 

 le résultat de la substitution est évidemment de l'ordre de z'-. Pour 



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