3o6 CHAPITRE VII. 



que l'intégrale f lf'( reste finie pour 5 = o, il faut évidem- 



ment que Q(5, u) ne contienne pas de terme constant. La condi- 

 tion est d'ailleurs suffisante, car Q{z, u) est alors de l'ordre de z 

 ou d'un ordre supérieur. 



La condition est la même si la tangente de rebroussement est 

 parallèle à Taxe des w, car on a identiquement, en vertu de la 

 relation F' du + FI <^^ = o, 



/ 



Q(z, u)dz _ f Çl{z,u)du 





et, en raisonnant sur la nouvelle intégrale, on voit qu'elle restera 

 finie au point (a, 6), si Q(a, ^)= o, et dans ce cas seulement. 

 En résumé, pour que l'intégrale 



/ 



Q(.,.)^^ 



¥\,{z,u. 



soit de première espèce, il faut et il suffît que tout point multiple 

 d'ordre q de la courbe F(^, u) — o soit un point multiple d'ordre 

 q — I de la courbe de degré m — 3 représentée par Téquation 

 Q(3,w)= o. CecisupposC; bien entendu, que la courbe F(^, u)^= o 

 n'a pas d'autres singularités que celles qui ont été spécifiées plus 

 haut. 



138. Pour déterminer le nombre d'intégrales de première espèce 

 d'une courbe de genre/?, il suffit, comme on l'a déjà remarqué, 

 de considérer une courbe n'ayant que des points doubles à tan- 

 gentes distinctes. C'est ce que nous allons faire. Soient m le degré 

 de la courbe, d le nombre des points doubles; on a 



{m — \){în — -i) 

 p = a. 



-^ 1 /-w / \ 1 1 ' o • miin — 3) 

 Tout polynôme Q(^, u) de degré m — 6 contient — ^-^ ^-4- i 



coefficients arbitraires. En écrivant que la courbe Q(^, «) = o 

 passe par les d points doubles, on établit entre ces coefficients d 

 relations linéaires; il restera dans Q(^, u) un nombre de coeffi- 

 cients arbitraires égal à 



— ^^ : + I — cZ = i — cl— p. 



