INTÉGRALES NORMALES. 3o7 



On ne peut pas conclure de là immédiatement que la courbe 

 admet p intégrales distinctes de première espèce; on pourrait 

 craindre, en efl'et, que les â? relations établies entre les coefficients 

 du polynôme Q(^, u) ne soient pas distinctes. Mais le raisonne- 

 ment prouve que la courbe possède au moins p intégrales dis- 

 tinctes de première espèce. D'ailleurs, elle ne peut en admettre 

 plus de /> (§ 118). Donc on peut énoncer le théorème général 

 suiv^ant : 



A toute relation algébrique F(^, ?«)=o, de genre p, sont 

 attachées p intégrales abéliennes distinctes de première espèce. 



Nous disons que p intégrales w^ , Wo, • . • , iVp sont linéairement 

 distinctes, s'il n'existe aucune relation linéaire à coefficients con- 

 stants de la forme 



Cl tvi + G.2 w, -}- . . . -^ G^ w^ H- G/,+1 = o, 



où Tune au moins de ces constantes soit différente de zéro. Si «',, 

 W2^ .. ., iVp sont/? intégrales distinctes de première espèce, toute 

 autre intégrale de première espèce est égale à 



Xl Wl-H A2tP2+ • ♦ . -4- '^pWp-^ ^^p+i- 



Remarque. — Un polynôme de degré m — 3 en g et w contient 



(m — i)(m — 2 ) fp • . 1 • . • • I 



■^ ^ coethcients arbitraires; par suite, le genre dune 



courbe de degré m est au plus égal a ^^ -, ce qu on peut 



voir aussi directement sans difficulté. Pour que cette limite supé- 

 rieure soit atteinte, il est nécessaire que le polynôme Çlm-3 ne soit 

 assujetti à aucune condition, c'est-à-dire que la courbe considérée 

 n'ait aucun point multiple. 



139. Le théorème qui précède étant fondamental, il n'est peut- 

 être pas inutile d'en donner une démonstration toute différente, 

 où n'interviennent pas les surfaces de Riemann. Il suffît de mon- 

 trer qu'une courbe de genre p ne peut avoir plus de p intégrales 

 distinctes de première espèce. C'est ce qui résulte du théorème 

 suivant : 



S'il existe un faisceau de courbes algébriques rencontrant 



